Question

双曲线＝1(a>0，b>0)的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为，其中A(0，－b)，B(a,0)．

(1)求双曲线的标准方程；

(2)设F是双曲线的右焦点，直线l过点F且与双曲线的右支交于不同的两点P、Q，点M为线段PQ的中点．若点M在直线x＝－2上的射影为N，满足·＝0，且||＝10，求直线l的方程．

Answer

(1) x2－＝1.(2) 3x－y－6＝0或3x＋y－6＝0.

【解析】

试题分析：(1)依题意有

解得a＝1，b＝，c＝2.所以，所求双曲线的方程为x2－＝1.（4分）

(2)当直线l⊥x轴时，||＝6，不合题意．（5分）

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－2)．

由得，

(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0.                          

因为直线与双曲线的右支交于不同两点，所以3－k2≠0.（7分）

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，则x1、x2是方程①的两个正根，于是有

所以k2>3。 （9分）

因为·＝0，则PN⊥QN，又M为PQ的中点，||＝10，所以|PM|＝|MN|＝|MQ|＝|PQ|＝5.

又|MN|＝x0＋2＝5，∴x0＝3，

而x0＝＝＝3，∴k2＝9，解得k＝±3.（10分）

∵k＝±3满足②式，∴k＝±3符合题意．

所以直线l的方程为y＝±3(x－2)．

即3x－y－6＝0或3x＋y－6＝0.（12分）

考点：本题主要考查双曲线的标准方程，双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，直线方程。