Question

（本小题共14分）

在单调递增数列中，，不等式对任意都成立.

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）判断数列能否为等比数列？说明理由；

（Ⅲ）设，，求证：对任意的，.

Answer

(1) (2) 用反证法证明：假设数列是公比为的等比数列, 因为单调递增，所以.因为，都成立,从而加以证明。

(3)通过前几项归纳猜想，然后运用数学归纳法加以证明。

【解析】

试题分析：（Ⅰ）【解析】
因为是单调递增数列，

所以，.

令，，，

所以.                  ………………4分 

（Ⅱ）证明：数列不能为等比数列.

用反证法证明：

假设数列是公比为的等比数列，，.

因为单调递增，所以.

因为，都成立.

所以，  ①

因为，所以，使得当时，.

因为.

所以，当时，，与①矛盾，故假设不成立.………9分

（Ⅲ）证明：观察： ，，，…，猜想：.

用数学归纳法证明：

（1）当时，成立；

（2）假设当时，成立；

当时，

所以.

根据（1）（2）可知，对任意，都有，即.

由已知得，.

所以.

所以当时，.

因为.

所以对任意，.

对任意，存在，使得，

因为数列{}单调递增，

所以，.

因为，

所以.                 ………………14分

考点：数列的性质