Question

（本小题满分13分）

如图，正三棱柱中，D是BC的中点，

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）求三棱锥的体积.

Answer

（Ⅰ）证明：由ABC—A1B1C1是正三棱柱，得出BB1⊥平面ABC，在正△ABC中，得到AD⊥BD，根据三垂线定理得，AD⊥B1D。

（Ⅱ）【解析】
连接A1B，设A1B∩AB1 = E，连接DE.由四边形A1ABB1是正方形，

确定DE∥A1C.推出A1C∥平面AB1D.

（Ⅲ）。

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明：∵ABC—A1B1C1是正三棱柱，

∴BB1⊥平面ABC，

∴BD是B1D在平面ABC上的射影

在正△ABC中，∵D是BC的中点，

∴AD⊥BD，

根据三垂线定理得，AD⊥B1D

（Ⅱ）【解析】
连接A1B，设A1B∩AB1 = E，连接DE.

∵AA1=AB ∴四边形A1ABB1是正方形，

∴E是A1B的中点，

又D是BC的中点，

∴DE∥A1C. ………………………… 7分

∵DE平面AB1D，A1C平面AB1D，

∴A1C∥平面AB1D. ……………………9分 

（Ⅲ）  ……13分

考点：本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系、体积计算。