Question

（本小题满分14分）

已知函数处取得极值.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若当恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）对任意的是否恒成立？如果成立，给出证明，如果不成立，请说明理由.

Answer

（Ⅰ）b=－2.（Ⅱ）c<－1或c>2. （Ⅲ）恒成立.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）∵f(x)=x3－x2+bx+c，

∴f′(x)=3x2－x+b.         ……2分

∵f(x)在x=1处取得极值，

∴f′(1)=3－1+b=0.

∴b=－2.             ……3分

经检验，符合题意.         ……4分

（Ⅱ）f(x)=x3－x2－2x+c.

∵f′(x)=3x2－x－2=(3x+2)(x－1)，     …5分

x

  1

 (1,2)

  2

f′(x)

   +

  0

 －

  0

  +

f(x)

                     ……7分

∴当x=－时，f(x)有极大值+c.     

又

∴x∈[－1，2]时，f(x)最大值为f(2)=2+c.     ……8分

∴c2>2+c.  ∴c<－1或c>2.      …………10分

（Ⅲ）对任意的恒成立.

由（Ⅱ）可知，当x=1时，f(x)有极小值.

又       …12分

∴x∈[－1，2]时，f(x)最小值为.

，故结论成立. ……14分

考点：本题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性、最值，不等式恒成立。