Question

已知函数，当时函数取得一个极值，其中．

（Ⅰ）求与的关系式；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）当时，函数的图象上任意一点的切线的斜率恒大于，求的取值范围．

Answer

（1）

（2）当时，在上单调递减，（8 分）

在上单调递增，在上单调递减；

(3)

【解析】

试题分析：【解析】
（Ⅰ）， （ 1分）

∵ 是函数的一个极值点，

∴ ，即， （ 3分）

则； （ 4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

＝，

∵ ，

∴  （5 分）

当变化时，的变化情况如下表：

1

－

0

＋

0

－

↘

极小值

↗

极大值

↘

由上表知，当时，在上单调递减，（8 分）

在上单调递增，在上单调递减；

（Ⅲ）由已知得，即， （ 9分）

∵ ， ∴ ，

设，其图象开口向上，

由题意知当时，恒成立， （ 11分）

则，即，

解之得． （13 分）

又，∴ ，

故的取值范围为． （ 14分）

考点：导数的运用