Question

已知椭圆的中心在坐标原点O, 焦点在x轴上, 椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形, 两准线间的距离为4.

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)直线过点P(0, 2)且与椭圆相交于A.、B两点,当△AOB面积取得最大值时, 求直线的方程.

Answer

（1）

（2）所求直线方程为

【解析】

试题分析：【解析】
(Ⅰ) 设椭圆方程为     （ 1 分）

由已知得  （  3 分）

∴.   所求椭圆方程为.   （ 4 分）

(Ⅱ)解法一:由题意知直线的斜率存在, 设直线的方程为, ,           （ 5 分）

由，消去得关于的方程:

, （ 7 分）

由直线与椭圆相交于A、B两点,

∴

解得.                    （  8 分）

又由韦达定理得    （  9 分）

∴

原点O到直线的距离为 （ 10 分）

∴ （ 11 分）

对两边平方整理得:

∵,

∴

整理得:,

又, ∴.

从而的最大值为, （ 12 分）

此时代入方程(*)得

∴ ,

所以, 所求直线方程为. （13 分）

解法二: 令,

则

∴ , （ 12 分）

当且仅当即时, ,

此时,

所以, 所求直线方程为. （ 13 分）

考点：直线与椭圆的位置关系