Question

已知函数，其中为正常数．

（Ⅰ）求函数在上的最大值；

（Ⅱ）设数列满足：，，

（1）求数列的通项公式；

（2）证明：对任意的，；

（Ⅲ）证明：．

Answer

（1）

（2），并运用数列的通项公式来结合函数的性质来得到证明。

（3）从已经研究出的性质出发，实现求和结构的放缩.

【解析】

21.  试题分析：【解析】
（Ⅰ）由，可得，

（2 分）

所以，，， （3 分）

则在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以，． （4 分）

（Ⅱ）（1）由，得，又，

则数列为等比数列，且， （5 分）

故为所求通项公式． （6 分）

（2）即证，对任意的，

（ 7分）

证法一：（从已有性质结论出发）

由（Ⅰ）知 （9 分）

即有对于任意的恒成立． （10 分）

证法二：（作差比较法）

由及 （ 8分）

 （9 分）

即有对于任意的恒成立． （10 分）

（Ⅲ）证法一：（从已经研究出的性质出发，实现求和结构的放缩）

由（Ⅱ）知，对于任意的都有，

于是，

（11 分）对于任意的恒成立

特别地，令，即， （12 分）

有，故原不等式成立．

（14 分）

以下证明小组讨论给分

证法二：（应用柯西不等式实现结构放缩）

由柯西不等式：

其中等号当且仅当时成立．

令，，可得

则

而由，所以

故，所证不等式成立．

证法三：（应用均值不等式“算术平均数”“几何平均数”）

由均值不等式：，其中

可得 ，

两式相乘即得，以下同证法二．

证法四：（逆向分析所证不等式的结构特征，寻找证明思路）

欲证，

注意到，而

从而所证不等式可以转化为证明

在此基础上可以考虑用数学归纳法证明此命题

考点：数列的运用