Question

已知函数，（其中实数,是自然对数的底数）．

（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；

（Ⅱ）求在区间上的最小值；

(Ⅲ) 若存在，使方程成立，求实数的取值范围.

Answer

(1)  

(2) 时，在区间上，，为增函数，所以 

当时,

(3)

【解析】

试题分析：【解析】
（Ⅰ）当时，┈┈1分

故切线的斜率为，                             ┈┈┈┈ 2分

所以切线方程为：，即. ┈┈┈┈ 3分

（Ⅱ），

令，得          4分

① 时，在区间上，，为增函数，

所以  5分

②当时，在区间上，为减函数，  6分

在区间上，为增函数，  7分

所以                  8分

(Ⅲ) 由可得

，                  9分

令，

        10分

单调递减

极小值（最小值）

单调递增

12分

，，

              ┈┈┈┈ 13分

实数的取值范围为          ┈┈┈┈ 14分

考点：导数的运用