Question

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若过点的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足（其中为坐标原点），求整数的最大值．

Answer

（Ⅰ）． （Ⅱ）的最大整数值为1.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题知， 所以．即．

又因为，所以，．

故椭圆的方程为．                    5分

（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在.

设：，，，，

由得.

，.

，                    8分

∵，∴，，

.

∵点在椭圆上，∴，

∴                          12分

，

∴的最大整数值为1.                           14分

考点：本题主要考查椭圆标准方程，直线与椭圆的位置关系，存在性问题研究。