Question

(本题满分12分)在如图的多面体中，⊥平面，,，，，，，是的中点．

(Ⅰ) 求证：平面；

(Ⅱ) 求证：；

(Ⅲ) 求二面角的余弦值.

Answer

【解析】

试题分析：

【解析】
(Ⅰ)证明：∵，∴； 又∵，是的中点，∴，且，∴四边形是平行四边形，∴. ∵平面，平面，∴平面.      4分

(Ⅱ) 解法1：证明：∵平面，平面，∴；又，平面，∴平面. 过作交于，则平面.∵平面，∴.

∵，∴四边形平行四边形，∴，∴，又，∴四边形为正方形，∴，又平面，平面，∴⊥平面. ∵平面，∴.         8分

解法2：∵平面，平面，平面，∴，，又，∴两两垂直. 以点为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知得，，，，；∴，，

∴，∴.   8分

(Ⅲ)由已知得是平面的法向量. 设平面的法向量为，

∵，

∴，∴，即，令,得.

设二面角的大小为，由法向量与的方向可知，，

∴，即二面角的余弦值为.   12分

考点：本题考查线面位置关系、二面角等有关知识，考查空间想象能力，中等题.