Question

（本小题满分12分）

如图，在三棱锥中，，，，，， 点，分别在棱上，且，

（Ⅰ）求证：平面PAC

（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的正弦值；

（Ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由．

Answer

(1)要证明线面垂直，一般可以通过线线垂直来证明，也可以通过面面垂直来证明，该试题的关键是证明AC⊥BC （2）

(3) 存在点E使得二面角是直二面角

【解析】

试题分析：【解析】
（法1）（Ⅰ）∵，，，∴PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又，∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC.

（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴，

又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.

∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，∵PA⊥底面ABC，

∴PA⊥AB，又PA=AB，∴△ABP为等腰直角三角形，

∴，∴在Rt△ABC中，，∴.

∴在Rt△ADE中，，

∴与平面所成的角的大小.

（Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，

又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，

∴∠AEP为二面角的平面角，∵PA⊥底面ABC，

∴PA⊥AC，∴.∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，

这时，故存在点E使得二面角是直二面角.

（法2）如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系，设，

由已知可得，，，.

（Ⅰ）∵，，∴，

∴BC⊥AP.又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.

（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点，

∴，，∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，

∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，

∵，

∴，

∴与平面所成的角的大小。

（Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，

又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，

∴∠AEP为二面角的平面角，∵PA⊥底面ABC，

∴PA⊥AC，∴.∴在棱PC上存在一点E，

使得AE⊥PC，这时，

故存在点E使得二面角是直二面角.

考点：空间中线面垂直，以及线面角和二面角的求解