Question

已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆，它的离心率为，一个焦点和抛物线的焦点重合,过直线上一点引椭圆的两条切线，切点分别是.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若在椭圆上的点处的椭圆的切线方程是. 求证:直线恒过定点；并出求定点的坐标.

（Ⅲ）是否存在实数，使得恒成立？(点为直线恒过的定点)若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

Answer

（I）；（II）直线AB恒过定点。

（III）存在实数，使得。

【解析】

试题分析：（I）设椭圆方程为。抛物线的焦点是，故，又，所以，

所以所求的椭圆方程为            3分

（II）设切点坐标为,,直线上一点M的坐标。

则切线方程分别为，。

又两切线均过点M，即，即点A,B的坐标都适合方程，

而两点之间确定唯一的一条直线，故直线AB的方程是，

显然对任意实数t，点（1,0）都适合这个方程，故直线AB恒过定点。  6分

（III）将直线AB的方程，代入椭圆方程，得

，即

所以       ..8分

不妨设

，同理  10分

所以

即。

故存在实数，使得。           12分

考点：本题主要考查椭圆标准方程，直线方程，直线与椭圆的位置关系，存在性问题研究。