Question

已知函数是定义在上的奇函数，当时，有（其中为自然对数的底，）．

（1）求函数的解析式；

（2）设，，求证：当时，；

（3）试问：是否存在实数，使得当时，的最小值是3？如果存在，求出实数的值；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）

（2）构造函数利用函数的最小值大于另一个函数的最大值来证明成立。

（3）当时，函数在区间上的最小值是3

【解析】

试题分析：【解析】
（1）当时，，

则，

又是奇函数，

所以，

因此，；                  4分

（2）证明：令，

当时，注意到，所以 5分

①   当时，注意到，有

；      6分

② 当时，

，   7分

故函数在上是增函数，从而有，

所以当时，有，                         8分

又因为是偶函数，故当时，同样有，即，

综上所述，当时，有；                         9分

（2）证法二：当时，，

求导得，令得，                         5分

于是可得当时，；时，，

所以在处取得最大值，所以．     6分

又记，当时，有，          7分

求导得，当时，，

所以在上单调递增，于是，

所以，在在上总有．               8分

注意到和的偶函数性质，

所以当时，有（）；     9分

（3）当时，，

求导得，令得，          10分

① 当时，，在区间上是增函数，故此时函数在区间上的最小值为，不满足要求；               11分

② 当，即时，，

所以在区间上是增函数，此时函数在区间的最小值为，

令，得，也不满足要求；                    12分

③ 当时，可得在区间上是减函数，在区间上是增函数，所以当时，，

令，得，满足要求．                        13分

综上可得，当时，函数在区间上的最小值是3．   14分

考点：导数的应用