Question

设函数的定义域为，对任意的实数都有；当时，，且.（1）判断并证明在上的单调性；

（2）若数列满足：，且，证明：对任意的，

Answer

（1）单调递增（2），再利用.

【解析】

试题分析：（1）在上单调递增，证明如下： 设任意，且，∵，∴，∴

即，∴在上单调递增.  

（2）在中，令，得.令，

得，∴.令，得，即

下面用数学归纳法证明：   

①当时，，不等式成立；

②假设当时，不等式成立，即，则∵在上单调递增，

∴，∴，即当时不等式也成立.

综上①②，由数学归纳法原理可知对任意的，

考点：数学归纳法；抽象函数及其应用；数列与函数的综合