Question

设曲线：上的点到点的距离的最小值为,若,,

（1）求数列的通项公式；

（2）求证:；

（3）是否存在常数,使得对,都有不等式:成立?请说明理由.

Answer

（1） （2）先证，累加即得证.（3）存在常数,对,都有不等式:成立.（M取值不唯一）

【解析】

试题分析：（1）设点,则,∴,

∵, ∴ 当时,取得最小值,且,

又,∴,即， 将代入得

两边平方，得,又,，

∴数列是首项为,公差为的等差数列, ∴,

∵ ,∴

（2）∵,∴

∴,∴ ∴，

∴

将以上个不等式相加，得.

（Ⅲ）由（1）得,当时, ,

∵,

∴，

∴,

∴

∴.

∴存在常数,对,都有不等式:成立.（M取值不唯一）

考点：数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；数列与函数的综合．