Question

（本小题满分14分）

如图，设点、分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，且最小值为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若动直线均与椭圆相切，且，试探究在轴上是否存在定点，点到的距离之积恒为1？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）（2）存在定点为或满足要求

【解析】

试题分析：（1）设，则有，         ……1分

                   ……2分

由最小值为得，                    ……3分

∴椭圆的方程为．                                         ……4分

（2）①当直线斜率存在时，设其方程为            ……5分

把的方程代入椭圆方程得

∵直线与椭圆相切，∴，

化简得                                                     ……7分

同理，                                                     ……8分

∴，若，则重合，不合题意，∴                  ……9分

设在轴上存在点，点到直线的距离之积为1，

则，即，                         ……10分

把代入并去绝对值整理，

或者

前式显然不恒成立；而要使得后式对任意的恒成立

则，解得；                                             ……12分

②当直线斜率不存在时，其方程为和，                ……13分

定点到直线的距离之积为；

定点到直线的距离之积为；

综上所述，满足题意的定点为或                           ……14分

考点：本小题主要考查椭圆的标准方程，椭圆的性质和直线与椭圆的位置关系.