Question

（本小题满分14分）

已知函数，，函数的图象在点处的切线平行于轴．

（1）确定与的关系；

（2）试讨论函数的单调性；

（3）证明：对任意，都有成立．

Answer

（1）

（2）当时，函数在(0,1)上单调递增，在单调递减；

当时，函数在单调递增，在单调递减；在上单调递增；

当时，函数在上单调递增，

当时，函数在上单调递增，在单调递减；在上单调递增．

（3）可以利用放缩不等式证明也可以构造新数列利用数列的性质证明还可以构造函数利用导数证明

【解析】

试题分析：（1）依题意得，则

由函数的图象在点处的切线平行于轴得：

∴                                                        ……3分

（2）由（1）得               ……4分

∵函数的定义域为

∴当时，在上恒成立，

由得，由得，

即函数在(0,1)上单调递增，在单调递减；                      ……5分

当时，令得或，

若，即时，

由得或，由得，

即函数在，上单调递增，在单调递减；          ……6分

若，即时，

由得或，由得，

即函数在，上单调递增，在单调递减；          ……7分

若，即时，在上恒有，

即函数在上单调递增，                                     ……8分

综上得：当时，函数在(0,1)上单调递增，在单调递减；

当时，函数在单调递增，在单调递减；在上单调递增；

当时，函数在上单调递增，

当时，函数在上单调递增，在单调递减；在上单调递增．

……9分

（3）证法一：由（2）知当时，函数在单调递增，，即，       ……11分

令，则，                             ……12分

即           ……14分

【证法二：构造数列，使其前项和，

则当时，，     ……11分

显然也满足该式，

故只需证          ……12分

令，即证，记，

则，

在上单调递增，故，

∴成立，

即．                                             ……14分】

【证法三：令，

则

                                         ……10分

令则，

记                        ……12分

∵∴函数在单调递增，

又即，

∴数列单调递增，又，∴            ……14分】

考点：本小题主要考查利用导数研究函数的性质和不等式的证明.