Question

在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆C：的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆C上且异于点A、B，直线AP、PB与直线l：y＝－2分别交于点M、N.

（1）设直线AP、PB的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁·k₂为定值；

（2）求线段MN长的最小值；

（3）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．

Answer

（1）k1·k2＝.＝＝－（2）MN长的最小值是4.

（3）为直径的圆恒过定点（或点）

【解析】

试题分析：【解析】
（1）由题设可知，点A(0，1)，B(0，－1).

令P(x0，y0)，则由题设可知x0≠0.

所以，直线AP的斜率k1＝，PB的斜率为k2＝.           2分

又点P在椭圆上，所以（x0≠0），从而有

k1·k2＝.＝＝－.                             4分

（2）由题设可以得到直线AP的方程为y－1＝k1(x－0)，直线PB的方程为

y－(－1)＝k2(x－0).

由，解得；

由，解得.

所以，直线AP与直线l的交点，直线PB与直线l的交点.

7分

于是，又k1·k2＝－，所以

≥2＝4，

等号成立的条件是，解得.

故线段MN长的最小值是4.                                      10分

（3）设点Q(x,y)是以MN为直径的圆上的任意一点，则＝0，故有.

又，所以以MN为直径的圆的方程为

.                           13分

令，解得或.

所以，以为直径的圆恒过定点（或点）．16分

注：写出一点的坐标即可得分.

考点：直线与椭圆的位置关系

点评:研究直线与圆的位置关系，以及直线与椭圆的位置关系，并结合向量的知识来处理，圆过定点的问题，利用数量积为零，属于基础题。