Question

在数列{a_n}（n∈N*）中，已知a₁＝1，a_2k＝－a_k，a_2k－1＝(－1)^k+1a_k，k∈N*. 记数列{a_n}的前n项和为S_n.

（1）求S₅，S₇的值；

（2）求证：对任意n∈N*，S_n≥0.

Answer

(1) S5＝3，S7＝1.

(2)根据已知的递推关系，然后结合整体的思想来分析得到，然后运用数学归纳法加以证明。

【解析】

试题分析：【解析】
（1）根据题意， 由于a1＝1，a2k＝－ak，a2k－1＝(－1)k+1ak，

故有 故可知S5＝3，S7＝1.        2分

（2）由题设的定义可知，对于每个正整数k，有

.                                                ①

.                                              ②       4分

则 ，③

.                     ④       6分

下面证明对于所有的n≥1，Sn≥0.

对于k，用数学归纳法予以证明.

当i＝1，2，3，4，即k=0时，S1＝1，S2＝0， S3＝1， S4＝2.

假设对于所有的i≤4k，Si≥0，则由①、②、③、④知，

S4k+4＝2Sk+1≥0，

S4k+2＝S4k≥0，

S4k+3＝S4k+2＋a4k+3＝S4k+2＋a4k+4＝S4k+2＋(S4k+4－S4k+3)，S4k+3＝≥0.

接下来证明：S4k+1≥0.

若k是奇数，则S4k＝2Sk≥2.

因为k是奇数，所以由题设知数列的各项均为奇数，可知Sk也是一个奇数. 于是

S4k≥2. 因此，S4k+1＝S4k＋a4k+1≥1.

若k是偶数，则a4k+1＝a2k+1＝ak+1. 所以S4k+1＝S4k＋a4k+1＝2Sk＋ak+1＝Sk＋Sk＋1≥0.

综上，对于所有的n≥1，Sn≥0.                                     10分

考点：数列的递推关系的运用