Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足：，其中λ为实数，n为正整数．

（Ⅰ）若数列{a_n}前三项成等差数列，求的值；

（Ⅱ）试判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论；

（Ⅲ）设0<a<b，S_n为数列{b_n}的前n项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a<S_n<b?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer

(1)  

(2) λ≠-6时，数列｛bn｝是以－(λ＋6)为首项，－为公比的等比数列.

(3) λ的取值范围是（－b－6, －3a－6）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明：，

由条件可得，所以  （4分）

(Ⅱ)【解析】
因为bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n-1)+9］=(-1)n+1(an-2n+6)

=(-1)n·（an-3n+9）=-bn

又b1=,所以

当λ＝－6时，bn=0(n∈N+),此时｛bn｝不是等比数列，

当λ≠－6时，b1=≠0,由上可知bn≠0，∴(n∈N+).

故当λ≠-6时，数列｛bn｝是以－(λ＋6)为首项，－为公比的等比数列. （10分）

(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-6,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.

∴λ≠-6，故知bn= －(λ+6)·(－)n-1，于是可得

Sn=

要使a3a时存在实数λ，使得对任意正整数n,都有a