Question

设函数，其中．证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值．

Answer

当时，函数没有极值点；

当时，

若时，函数有且只有一个极小值点，极小值为．

若时，函数有且只有一个极大值点，极大值为．

【解析】

试题分析：证明：因为，所以的定义域为．

．

当时，如果在上单调递增；

如果在上单调递减．

所以当，函数没有极值点．

当时，

令，得（舍去），，

当时，随的变化情况如下表：

0

极小值

从上表可看出，

函数有且只有一个极小值点，极小值为．

当时，随的变化情况如下表：

0

极大值

从上表可看出，

函数有且只有一个极大值点，极大值为．

综上所述，当时，函数没有极值点；

当时，

若时，函数有且只有一个极小值点，极小值为．

若时，函数有且只有一个极大值点，极大值为．

考点：函数的极值