Question

设函数,的两个极值点为,线段的中点为.

(1) 如果函数为奇函数,求实数的值;当时，求函数图象的对称中心；

(2) 如果点在第四象限,求实数的范围;

(3) 证明:点也在函数的图象上,且为函数图象的对称中心.

Answer

（1）函数图象的对称中心为（1，0）.

（2）或.

（3）由（2）得点，推出点也在函数的图象上.    

设为函数的图象上任意一点，

求得关于的对称点为 

证明在函数的图像上.证得为函数的对称中心.

【解析】

试题分析：（1）【法一】因为为奇函数，所以, 得：.

当时，，有，则为奇函数.   4分

【法二】,恒成立， , 求得.

当时，，该图象可由奇函数的图象向右平移一个单位得到， 可知函数图象的对称中心为（1，0）.   4分

（2）,

令，则为两实根.,.

=

= , 

点在第四象限,得：  

或.    10分

（3）由（2）得点，

又

=，所以点也在函数的图象上.      12分

设为函数的图象上任意一点，

关于的对称点为 

而

=.

即在函数的图像上.

所以，为函数的对称中心.     16分

【法二】设 

 .

为奇函数，

对称中心为.

把函数的图象按向量

平移后得的图象，

 为函数的对称中心.    16分

考点：本题主要考查函数的奇偶性，函数图象的对称性。