Question

设各项均为正实数的数列的前项和为，且满足（）．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列的通项公式为（），若，，（）成等差数列，求和的值；

（Ⅲ）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其三边长为数列中的三项，，．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ），，．

（Ⅲ）作如下构造：，，，其中，它们依次为数列中第项，第项，第，显然它们成等比数列，且，所以它们能组成三角形．

由的任意性，知这样的三角形有无穷多个．

用反证法证明其中任意两个和不相似

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题意，①，当时，有②，

②-①，得，各项为正，，

从而，故成公差2的等差数列．又时，，解得．故．                                4分

（Ⅱ），要使，，成等差数列，须，

即，整理得，因为，为正整数，只能取2，3，5．故，，．                  10分

（Ⅲ）作如下构造：，，，其中，它们依次为数列中第项，第项，第，显然它们成等比数列，且，所以它们能组成三角形．

由的任意性，知这样的三角形有无穷多个．

下面用反证法证明其中任意两个和不相似：若∽，且，则，整理得，所以，这与矛盾，因此，任意两个三角形不相似．故原命题正确．           16分

考点：本题主要考查等差数列、等比数列的基础知识，构成三角形的条件，反证法。