Question

如图，四边形ABCD是正方形，PB^平面ABCD，MA^平面ABCD，PB＝AB＝2MA.

求证：（1）平面AMD∥平面BPC；（2）平面PMD^平面PBD．

Answer

（1）根据三角形的中位线，结合MA∥平面BPC，同理DA∥平面BPC来证明面面平行。

（2）根据题意，由于PB^平面ABCD ，通过性质定理得到MF^BD ，进而证明MF^平面PBD，得证。

【解析】

试题分析：证明：（Ⅰ）∵PB^平面ABCD，MA^平面ABCD，∴PB∥MA． 2分

∵PBÌ平面BPC，MA平面BPC，∴MA∥平面BPC．   4分

同理DA∥平面BPC，       5分

∵MAÌ平面AMD，ADÌ平面AMD，MA∩AD＝A，

∴平面AMD∥平面BPC．     7分

（Ⅱ）连结AC，设AC∩BD＝E，取PD中点F，连接EF，MF．

∵ABCD为正方形，∴E为BD中点．又F为PD中点，．

又，

∴．∴AEFM为平行四边形．        10分

∴MF∥AE．

∵PB^平面ABCD，AEÌ平面ABCD，∴PB^AE．∴MF^PB．  12分

因为ABCD为正方形，∴AC^BD．∴MF^BD．

又，∴MF^平面PBD．                     13分

又MFÌ平面PMD．∴平面PMD^平面PBD．       14分

考点：面面平行和面面垂直