Question

已知圆：交轴于两点，曲线是以为长轴，直线：为准线的椭圆．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若是直线上的任意一点，以为直径的圆与圆相交于两点，求证：直线必过定点，并求出点的坐标；

（3）如图所示，若直线与椭圆交于两点，且，试求此时弦的长．

Answer

（1）（2）（3）

【解析】

试题分析：【解析】
（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，则：

，从而：，故,所以椭圆的标准方程为。  4分

（Ⅱ）设，则圆方程为 

与圆联立消去得的方程为，

过定点。                              …………8分 

（Ⅲ）解法一：设，则,………①

，，即：

代入①解得：（舍去正值），      ，所以，

从而圆心到直线的距离，从而， 16分

考点：椭圆的方程