Question

已知⊙和点.

(Ⅰ)过点向⊙引切线，求直线的方程；

(Ⅱ)求以点为圆心，且被直线截得的弦长为4的⊙的方程；

(Ⅲ)设为（Ⅱ）中⊙上任一点，过点向⊙引切线，切点为. 试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.

Answer

(Ⅰ) ；（Ⅱ） 

（Ⅲ）可以找到这样的定点，使得为定值. 如点的坐标为时，比值为；

点的坐标为时，比值为

【解析】

试题分析：(Ⅰ)设切线方程为 ，易得，解得……4分

∴切线方程为 

（Ⅱ）圆心到直线的距离为,设圆的半径为，则,

∴⊙的方程为 

（Ⅲ）假设存在这样的点，点的坐标为，相应的定值为，

根据题意可得，∴,

即  （*），

又点在圆上∴，即，代入（*）式得：

若系数对应相等，则等式恒成立，∴，

解得 

∴可以找到这样的定点，使得为定值. 如点的坐标为时，比值为；

点的坐标为时，比值为

考点：本题主要考查圆的标准方程，直线方程，直线与圆的位置关系。