Question

已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆 上，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，且与交于点.

(1) 求椭圆的方程；

(2) 是否存在满足的点? 若存在，指出这样的点有几个（不必求出点的坐标）; 若不存在，说明理由.

Answer

（1）. (2)满足条件的点有两个.

【解析】

(1)试题分析：解法1：设椭圆的方程为,依题意:    

解得:         ∴ 椭圆的方程为.

解法2：设椭圆的方程为，根据椭圆的定义得，即， ∵，  ∴.   ∴ 椭圆的方程为.  

(2) 解法1：显然直线的斜率存在，设直线的方程为，

由消去，得.  

设,则.  

由,即得.  

∴抛物线在点处的切线的方程为，即.

∵， ∴.  

同理,得抛物线在点处的切线的方程为.  

由解得 

∴.  ∵,

∴点在椭圆上.  ∴.

化简得.(*) 由, 

可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点有两个.    

解法2：设点,，，由,即得.

∴抛物线在点处的切线的方程为，

即.∵， ∴ .

∵点在切线上,  ∴.       ①        

同理， . ② 综合①、②得，点的坐标都满足方程.∵经过的直线是唯一的，∴直线的方程为，

∵点在直线上，     ∴.    ∴点的轨迹方程为.

若 ，则点在椭圆上，又在直线上，∵直线经过椭圆内一点,∴直线与椭圆交于两点. 

∴满足条件 的点有两个.              

解法3：设点,，则，，

∵三点共线, .

化简得：. ① 由,即得.  

∴抛物线在点处的切线的方程为，即. ②

同理，抛物线在点处的切线的方程为 .    ③   

设点，由②③得：，而，则 .  

代入②得 ， 则，代入 ① 得 ，

即点的轨迹方程为.若 ，则点在椭圆上，而点又在直线上，∵直线经过椭圆内一点,

∴直线与椭圆交于两点. ∴满足条件 的点有两个.

考点：本题考查了圆锥曲线的方程及直线与圆锥曲线的位置关系