Question

已知函数．（1）求函数的单调区间；

（2）设函数.若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）

递减

递增

递减

递增

递增

其中    

（2）.

【解析】

试题分析：（1）函数的定义域为，．设 ，                  

①当时，，在上恒成立，则在上恒成立，此时在上单调递减． 

②当时，（I）由得.

当时，恒成立，

在上单调递增． 当时，恒成立，在上单调递减．

（II）由得或；.当时，开口向下，在上恒成立，则在上恒成立，此时在上单调递减．

当 ，开口向上，在上恒成立，则在上恒成立，

此时 在上单调递增．

（III）由得

若，开口向上，，且，，都在上. 由，即，得或；

由，即，得．

所以函数的单调递增区间为和，

单调递减区间为．  

当时，抛物线开口向下，在

恒成立，即在（0，+恒成立，所以在单调递减

综上所述：

递减

递增

递减

递增

递增

其中    

（2）因为存在一个使得，

则，等价于.令，等价于“当 时，”.

对求导，得. 因为，由，所以在上单调递增，在上单调递减.   

由于，所以，因此.

考点：本题考查了导数的运用