Question

如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分线段PC，且分别交AC、PC于D、E两点，又PB=BC，PA=AB．

（1）求证：PC⊥平面BDE；

（2）若点Q是线段PA上任一点，判断BD、DQ的位置关系，并证明结论；

（3）若AB=2，求三棱锥B﹣CED的体积．

Answer

（1）根据线面垂直的判定定理来加以证明，关键是对于DE⊥PC的证明的运用。

（2）点Q是线段PA上任一点都有BD⊥DQ

（3）．

【解析】

试题分析：【解析】

（1）证明：由等腰三角形PBC，得BE⊥PC，又DE垂直平分PC，

∴DE⊥PC，且DE∩BE=E， ∴PC⊥平面BDE；   4分

（2）由（Ⅰ）PC⊥平面BDE，BD?平面BDE，∴PC⊥BD 

同理，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BD，    6分

又PA∩PC=P，  ∴BD⊥面APC，DQ?面APC，  ∴BD⊥DQ．

所以点Q是线段PA上任一点都有BD⊥DQ    8分

（3）∵PA=AB=2，∴， ∵AB⊥BC，

∴S△ABC==2．AC=2

∴CD==，   9分

即S△DCB=S△ABC，又E是PC的中点

∴V B﹣CED=S△ABC?PA=．    12分

考点：几何体的体积，以及线面垂直