Question

已知函数f（x）的图象经过点（1，λ），且对任意x∈R，

都有f（x+1）=f（x）+2．数列{a_n}满足．

（1）当x为正整数时，求f（n）的表达式；（2）设λ=3，求a₁+a₂+a₃+…+a_2n；

（3）若对任意n∈N^*，总有a_na_n+1＜a_n+1a_n+2，求实数λ的取值范围．

Answer

（1）22n+n﹣2．（2）λ的取值范围为（﹣2，+∞）．

【解析】

试题分析：【解析】

（1）记bn=f（n），由f（x+1）=f（x）+2有bn+1﹣bn=2对任意n∈N*都成立，

又b1=f（1）=λ，所以数列bn为首项为λ公差为2的等差数列，   2分

故bn=2n+λ﹣2，即f（n）=2n+λ﹣2．   4分

（2）由题设λ=3

若n为偶数，则an=2n﹣1；若n为奇数且n≥3，则an=f（an﹣1）=2an﹣1+λ﹣2=2?2n﹣2+λ﹣2=2n﹣1+λ﹣2=2n﹣1+1

又a1=λ﹣2=1，

即- 6分

a1+a2+a3++a2n=（a1+a3++a2n﹣1）+（a2+a4++a2n）=（20+22++22n﹣2+n﹣1）+（21+23++22n﹣1）

=（1+21+22++22n﹣1）+n﹣1=22n+n﹣2．  8分

（3）当n为奇数且n≥3时，an+1an+2﹣anan+1=an+1（an+2﹣an）=2n[2n+1+λ﹣2﹣（2n﹣1+λ﹣2）]=3?22n﹣1＞0； 10分

当n为偶数时，an+1an+2﹣anan+1=an+1（an+2﹣an）=（2n+λ﹣2）（2n+1﹣2n﹣1）]=3?2n﹣1（2n+λ﹣2），因为anan+1＜an+1an+2，所以2n+λ﹣2＞0，

∵n为偶数，∴n≥2，

∵2n+λ﹣2单增∴4+λ﹣2＞0，即λ＞﹣2

故λ的取值范围为（﹣2，+∞）．  12分

考点：数列的求和，以及数列单调性