Question

设f(x)是定义在R的偶函数，对任意xÎR，都有f(x-2)=f(x+2)，且当xÎ[-2, 0]时， f(x)=．若在区间(-2,6]内关于x的方程恰有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是(    )

A．(1, 2)             B．(2,+¥)            C．(1,)           D．(, 2)

Answer

B

【解析】

试题分析：画出当x∈[-2，0]时，函数f（x）=的图象（如图）．

∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴当x∈[0，2]时的函数f（x）的图象与当x∈[-2，0]时，函数f（x）图象关于y轴对称．

∵对任意x∈R，都有f（x+2）=f（2-x）成立，∴函数f（x）的图象关于直线x=2对称．

根据以上的分析即可画出函数y=f（x）在区间[-2，6]上的图象．

当0＜a＜1时，可知不满足题意，应舍去；

当a＞1时，画出函数y=loga（x+2）的图象．

若使函数y=f（x）与y=loga（x+2）=0在区间(-2,6]内有3个实根，而在（-2,0）必有一个实根，只需在区间（0，6]内恰有两个不同的交点（即关于x的方程f（x）-loga（x+2）=0在区间（0，6]内恰有两个不同的实数根），则实数a满足，loga（6+2）＞3，

∴a3＜8，∴a＜2，又1＜a，∴1＜a＜2．故a的取值范围为1＜a＜2．故选B．

考点：本题主要考查函数的奇偶性、周期性，指数函数、对数函数的性质。