Question

椭圆的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是   .

Answer

3a2

【解析】

试题分析：设椭圆的右焦点为E．如图：

由椭圆的定义得：△FAB的周长：AB+AF+BF=AB+（4a-AE）+（4a-BE）=8a+AB-AE-BE；

∵AE+BE≥AB；

∴AB-AE-BE≤0，当AB过点E时取等号；

∴AB+AF+BF=8a+AB-AE-BE≤8a；

即直线x=m过椭圆的右焦点E时△FAB的周长最大；

此时△FAB的高为：EF=2a．

此时直线x=m=c=1；

把x=1代入椭圆的方程得：y=±．

∴AB=3a．所以：△FAB的面积等于：S△FAB=

×3a×EF=×3a×2a=3a2故答案为3a2

考点：本题主要考查椭圆的定义及几何性质，三角形面积计算。