Question

已知两点及，点在以、为焦点的椭圆上，且、、构成等差数列．

（1）求椭圆的方程；

（2）如图7，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点是直线上的两点，且，． 求四边形面积的最大值．

Answer

（1）椭圆的方程为．(2)以四边形的面积的最大值为。

【解析】

试题分析：（1）依题意，设椭圆的方程为．

构成等差数列，

， ．

又，．

椭圆的方程为．  4分 

(2) 将直线的方程代入椭圆的方程中，得．              5分

由直线与椭圆仅有一个公共点知，，

化简得：．                        7分

设，，    9分

（法一）当时，设直线的倾斜角为，

则，

，       

， 11分

，当时，，，．

当时，四边形是矩形，．   13分

所以四边形面积的最大值为．    14分

（法二），

．

．

四边形的面积， 11分 

．   13分

当且仅当时，，故．

所以四边形的面积的最大值为．     14分

考点：本题主要考查等差数列，椭圆标准方程，直线与椭圆的位置关系，面积计算。