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如图,四棱锥中,底面是边长为2的正方形,,且,为中点. (Ⅰ)求证:平面; (Ⅱ...

如图,四棱锥说明: 满分5 manfen5.com中,底面说明: 满分5 manfen5.com是边长为2的正方形,说明: 满分5 manfen5.com,且说明: 满分5 manfen5.com说明: 满分5 manfen5.com说明: 满分5 manfen5.com中点.

说明: 满分5 manfen5.com

(Ⅰ)求证:说明: 满分5 manfen5.com平面说明: 满分5 manfen5.com;    

(Ⅱ)求二面角说明: 满分5 manfen5.com的大小;

(Ⅲ)在线段说明: 满分5 manfen5.com上是否存在点说明: 满分5 manfen5.com,使得点说明: 满分5 manfen5.com到平

说明: 满分5 manfen5.com的距离为说明: 满分5 manfen5.com?若存在,确定点说明: 满分5 manfen5.com的位置;

若不存在,请说明理由.

 

解法一: (Ⅰ)证明:∵底面为正方形, ∴,又, ∴平面, ∴.                                                   2分 同理,                                               4分 ∴平面.           5分 (Ⅱ)【解析】 设为中点,连结, 又为中点, 可得,从而底面. 过 作的垂线,垂足为,连结. 由三垂线定理有, ∴为二面角的平面角.                        7分 在中,可求得    ∴.                               9分 ∴ 二面角的大小为.               10分 (Ⅲ)【解析】 由为中点可知, 要使得点到平面的距离为, 即要点到平面的距离为. 过 作的垂线,垂足为, ∵平面, ∴平面平面, ∴平面, 即为点到平面的距离. ∴, ∴.                                        12分 设, 由与相似可得 , ∴,即. ∴在线段上存在点,且为中点,使得点到平面的距离为. 14分 解法二: (Ⅰ)证明:同解法一. (Ⅱ)【解析】 建立如图的空间直角坐标系,                6分 则.          设为平面的一个法向量, 则,. 又 令则 得.               8分 又是平面的一个法向量, 9分 设二面角的大小为 , 则. ∴ 二面角的大小为.                    10分 (Ⅲ)【解析】 设为平面的一个法向量, 则,. 又, 令则 得.                                         12分 又 ∴点到平面的距离, ∴, 解得,即 . ∴在线段上存在点,使得点到平面的距离为,且为中点.14分 【解析】 试题分析:解法一: (Ⅰ)证明:∵底面为正方形, ∴,又, ∴平面, ∴.                                                   2分 同理,                                               4分 ∴平面.           5分 (Ⅱ)【解析】 设为中点,连结, 又为中点, 可得,从而底面. 过 作的垂线,垂足为,连结. 由三垂线定理有, ∴为二面角的平面角.                        7分 在中,可求得    ∴.                               9分 ∴ 二面角的大小为.               10分 (Ⅲ)【解析】 由为中点可知, 要使得点到平面的距离为, 即要点到平面的距离为. 过 作的垂线,垂足为, ∵平面, ∴平面平面, ∴平面, 即为点到平面的距离. ∴, ∴.                                        12分 设, 由与相似可得 , ∴,即. ∴在线段上存在点,且为中点,使得点到平面的距离为.14分 解法二: (Ⅰ)证明:同解法一. (Ⅱ)【解析】 建立如图的空间直角坐标系,                6分 则.          设为平面的一个法向量, 则,. 又 令则 得.               8分 又是平面的一个法向量, 9分 设二面角的大小为 , 则. ∴ 二面角的大小为.                    10分 (Ⅲ)【解析】 设为平面的一个法向量, 则,. 又, 令则 得.                                         12分 又 ∴点到平面的距离, ∴, 解得,即 . ∴在线段上存在点,使得点到平面的距离为,且为中点.14分 考点:本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系,角的计算。
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考点分析:
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说明: 满分5 manfen5.com

(Ⅰ)求说明: 满分5 manfen5.com边所在直线方程;

(Ⅱ)说明: 满分5 manfen5.com为直角三角形说明: 满分5 manfen5.com外接圆的圆心,求圆说明: 满分5 manfen5.com的方程;

(Ⅲ)若动圆说明: 满分5 manfen5.com过点说明: 满分5 manfen5.com且与圆说明: 满分5 manfen5.com内切,求动圆说明: 满分5 manfen5.com的圆心说明: 满分5 manfen5.com的轨迹方程.

 

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