Question

已知：在函数的图象上，以为切点的切线的倾斜角为．

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）是否存在最小的正整数，使得不等式对于恒成立？如果存在，请求出最小的正整数；如果不存在，请说明理由；

（Ⅲ）求证：（，）．

Answer

（Ⅰ）.

（Ⅱ）存在最小的正整数，使得不等式对于恒成立.

（Ⅲ）（，）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ） ，依题意，得，即，.

2分

∵ ， ∴ .                             3分

（Ⅱ）令，得.                 4分

当时，；

当时，；

当时，.

又，，，.

因此，当时，.              7分

要使得不等式对于恒成立，则.

所以，存在最小的正整数，使得不等式对于

恒成立.                                     9分

（Ⅲ）方法一：

.            11分

又∵ ，∴ ，.

∴

.         13分

综上可得，（，）.                  14分

方法二：由（Ⅱ）知，函数在 [-1，]上是增函数；在[,]上是减函数；在[，1]上是增函数.

又，，，.

所以，当x∈[-1，1]时，，即.

∵ ，∈[-1，1]，∴ ，.

∴ .   11分

又∵，∴ ，且函数在上是增函数.

∴ .            13分

综上可得，（，）.     14分

考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性及极值，均值定理的应用，三角函数恒等变换。