Question

已知椭圆C:  (a>b>0)的两个焦点和短轴的两个端点都在圆上.

(I)求椭圆C的方程；

(II)若斜率为k的直线过点M(2,0),且与椭圆C相交于A, B两点.试探讨k为何值时,三角形OAB为直角三角形.

Answer

(I) (II)

【解析】

试题分析：（Ⅰ） 

所以椭圆方程为                                             ……4分

（Ⅱ）由已知直线AB的斜率存在，设AB的方程为：

由 ，得，

得：，即                                       ……6分

设， 

(1)若为直角顶点，则 ，即 ，

，所以上式可整理得，

，解，得，满足            ……8分

（2）若为直角顶点，不妨设以为直角顶点，，则满足：

，解得，代入椭圆方程，整理得，

解得，，满足   ……10分

时，三角形为直角三角形.    ……12分

考点：本小题主要考查圆的标准方程，椭圆的标准方程，椭圆的性质和直线与椭圆的位置关系.