Question

已知函数在点（1,f(1))处的切线方程为y = 2.

(I)求f(x)的解析式；

(II)设函数若对任意的，总存唯一实数，使得,求实数a的取值范围.

Answer

(I) (II)

【解析】

试题分析：（Ⅰ）                     ……2分

由在点处的切线方程为，得，

即,解得.故                       ……4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故在上单调递增，在上单调递减,由 ，故的值域为                  ……6分

依题意，记

（ⅰ）当时，，在上单调递减，依题意由得，故此时                      ……8分

（ⅱ）当时，>>当时，<，当时，>．依题意得：

 或 解得                        ……10分

（ⅲ）当4时，，此时>，在单调递增．依题意得

 即此不等式组无解                               ……11分

综上，所求取值范围为                                 ……12分.

考点：本小题主要考查利用导数研究函数的性质和参数范围的求解.