Question

在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下：当时，；当时，。则函数有（    ）（“·”和“－”仍为通常的乘法和减法）

A．最大值为，无最小值           B．最大值为，最小值为1

C．无最大值，无最小值                    D．无最大值，最小值为1

Answer

D    

【解析】

试题分析：∵x∈（0，2]，∴2≥x，故2?x=2，当x∈（0，1]时，1≥x，1?x=1；当x∈（1，2]时，1＜x，1?x=x2，故f（x）=（1?x）?x-（2?x）lnx（x∈（0，2]）=，设函数p（x）=x-2lnx，x∈（0，1]，q（x）=x3-2lnx，x∈（1，2] ，由p′（x）=1-＜0可得p（x）=x-2lnx，x∈（0，1]，单调递减，故f（1）=1为最小值，无最大值；同理，q′（x）=3x2-＞0可得 q（x）=x3-2lnx，x∈（1，2]单调递增，故g（2）=8-2ln2为最大值，无最小值，而且8-2ln2＞1．综上可得，f（x）在（0，2]上无最大值，有最小值1，故选D．

考点：本题主要考查新定义下的函数最值问题