Question

已知偶函数在区间上是增函数，且满足，下列判断中错误的是（     ）

A．

B．函数在上单调递减　

C．函数的图像关于直线 对称

D．函数的周期是

Answer

  A

【解析】

试题分析：对于A，令x=0代入题中等式，得f（1-0）+f（1+0）=0，∴f（1）=0，结合函数为偶函数得f（-1）=f（1）=0，再令x=2代入题中等式，，得f（1-2）+f（1+2）=0，得f（3）=-f（-1）=0，结合函数为偶函数得f（-3）=f（3）=0，最后令x=4，f（1-4）+f（1+4）=0，得f（5）=-f（-3）=0，故A项正确；对于B，因为偶函数y=f（x）图象关于y轴对称，在区间[-1，0]上是增函数，所以y=f（x）在区间[0，1]上是减函数，设F（x）=f（1+x），得F（-x）=f（1-x），因为f（1-x）+f（1+x）=0，得f（1+x）=-f（1-x），所以F（x）=f（1+x）是奇函数，图象关于原点对称．由此可得y=f（x）图象关于点（1，0）对称．∵区间[1，2]和区间[0，1]是关于点（1，0）对称的区间，且在对称的区间上函数的单调性一致，∴函数f（x）在[1，2]上单调递减，故B项正确；对于C，由B项的证明可知，y=f（x）图象关于点（1，0）对称，若f（x）的图象同时关于直线 x=1对称，则f（x）=0恒成立，这样与“在区间[-1，0]上f（x）是增函数”矛盾，故C不正确；对于D，因为f（x）=f（1-（1-x））=-f（1+（1+x））=-f（x+2），所以f（x+2）=-f（x+4），可得f（x+4）=f（x），函数f（x）的周期是T=4，D项正确，故选C

考点：本题考查了函数的性质