Question

如图。在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=BC=2AA₁，∠ABC=90°，M是BC中点。

（I）求证：A₁B∥平面AMC₁；

（II）求直线CC₁与平面AMC₁所成角的正弦值；

（Ⅲ）试问：在棱A₁B₁上是否存在点N，使AN与MC₁成角60°？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由。

Answer

（I）由线线平行证得线面平行 （II）（Ⅲ）.在棱上存在棱的中点，使与成角.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）连接交于,连接.在三角形中，

是三角形的中位线，

所以∥,

又因平面，

所以∥平面. 

（Ⅱ）（法一）设直线与平面所成角为，

点到平面的距离为，不妨设，则，

因为,，

所以.                

因为，

所以,.

.

，

，.     

（法二）如图以所在的直线为轴, 以所在的直线为轴, 以所在的直线为轴，以的长度为单位长度建立空间直角坐标系.

则,,,，,,.设直线与平面所成角为，平面的法向量为.则有,,，

令,得，

设直线与平面所成角为，

则.               

（Ⅲ）假设直线上存在点，使与成角为.

设，则，.

设其夹角为，

所以，

，

，或（舍去），

故.所以在棱上存在棱的中点，使与成角.

考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．