Question

已知函数．

（1）若为定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；

（2）当m=-1时，求函数的最大值；

（3）当，时，证明：．

Answer

（1）m≥0（2）0（3）构造函数利用导数证明

【解析】

试题分析：(1)由已知得,

所以                                                                   2分

若f(x)在上是增函数,则,即在恒成立,

而,故m≥0;                                                                   4分

若f(x)在上是减函数,则,即在恒成立,

而,故这样的m不存在.                                                         5分

经检验,当m≥0时, 对恒成立,

∴当m≥0时，f(x)在定义域上是单调增函数.                                                6分

(2)当m =－1时, ,则                       7分

当时,,此时f(x)为增函数,

当时, ,此时f(x)为减函数                                               9分

∴f(x)在x = 0时取得最大值,最大值为0.                                                   10分

(3)当m = 1时,令,           11分

在[0,1]上总有,即在[0,1]上递增 ，                                          12分

∴当时,,即，             13分

令,由(2)知它在[0,1]上递减,

所以当时,,即 ，             14分

综上所述,当m = 1,且时,.                                  15分

考点：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等和构造函数证明不等式.