Question

如图：在多面体EF-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，△EAD为正三角形，且平面EAD平面ABCD，EF∥AB, AB=2EF=2AD=4，.

（Ⅰ）求多面体EF-ABCD的体积；

（Ⅱ）求直线BD与平面BCF所成角的大小．

Answer

(1)5(2)

【解析】

试题分析：解（Ⅰ）如图.取AD的中点G，正△EAD中, ，又AD=2，故 ，又因为平面EAD平面ABCD，所以，多面体EF-ABCD的体积，而四边形ABCD的面积，所以；设AB的中点为H，因为AB=2EF，所以FH∥AE，所以，所以，所以，故所求多面体EF-ABCD的体积是5

（Ⅱ）连接EH，由题设知EF=HB,又EF∥AB，所以四边形EHBF是平行四边形，连接GH，在△AGH中，AH=2AG=2，.故，即，又,所以平面EGH，

，又因为BF∥EH，所以AD BF，在平行四边形ABCD中，BC∥AD，所以BC⊥BF；又GH⊥AD， GH∥ BD，所以BD ⊥AD，而BC∥AD，故BC⊥BD，所以BC⊥平面DFB，BC平面BCF，所以平面BCF⊥平面DFB，所以点D在平面BCF上的射影P点在BF上，所以∠FBD就是直线BD与平面BCF所成的角，在△BFD中， BF=HE=，又BC⊥平面DFB，所以，平面FBD⊥面ABCD，故F点在平面ABCD上的射影K在BD上，且FK=EG=，所以，故求直线BD与平面BCF所成角是。

（第（Ⅱ）小题也可用向量解答，略）

考点：几何体体积的求解，以及线面角的求解