Question

如图1，，，过动点A作，垂足在线段上且异于点，连接，沿将△折起，使（如图2所示）．

（1）当的长为多少时，三棱锥的体积最大；

（2）当三棱锥的体积最大时，设点，分别为棱、的中点，试在棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小．

Answer

（1）时, 三棱锥的体积最大．（2）

【解析】

试题分析：（1）解法1：在如图1所示的△中，设，则．

由，知，△为等腰直角三角形，所以.

由折起前知，折起后（如图2），，，且，

所以平面．又，所以．于是

，

当且仅当，即时，等号成立   

故当，即时, 三棱锥的体积最大．   

解法2：同解法1，得．  

令，由，且，解得．

当时，；当时，．

所以当时，取得最大值．

故当时, 三棱锥的体积最大.

（2）解法1：以D为原点，建立如图a所示的空间直角坐标系D-.

由（Ⅰ）知，当三棱锥A-BCD的体积最大时，BD＝1,AD＝CD＝2.

于是可得D（0,0,0,），B（1,0,0），C（0,2,0），A（0,0,2）M（0,1,1）E（，1,0），且BM＝（-1，1,1）.    

设N（0,, 0），则EN＝,-1,0).因为EN⊥BM等价于EN·BM＝0,即（，-1,0）·（-1,1,1）＝+-1＝0，故＝，N（0, ，0） 

所以当DN＝时（即N是CD的靠近点D的一个四等分点）时，EN⊥BM.

设平面BMN的一个法向量为n=(,,),由可取＝(1,2,-1） 

设与平面所成角的大小为，则由，，可得

，即．   

故与平面所成角的大小为     

解法2：由（Ⅰ）知，当三棱锥的体积最大时，，．

如图b，取的中点，连结，，，则∥.

由（Ⅰ）知平面，所以平面.

如图c，延长至P点使得，连，，则四边形为正方形，

所以. 取的中点，连结，又为的中点，则∥，

所以. 因为平面，又面，所以.

又，所以面. 又面，所以.

因为当且仅当，而点F是唯一的，所以点是唯一的.

即当（即是的靠近点的一个四等分点），．      

连接，，由计算得，

所以△与△是两个共底边的全等的等腰三角形，

如图d所示，取的中点，连接，，

则平面．在平面中，过点作于，

则平面．故是与平面所成的角．

在△中，易得，所以△是正三角形，

故，即与平面所成角的大小为 

考点：用空间向量求直线与平面的夹角；棱柱、棱锥、棱台的体积．