Question

设函数，。

（1）当时，求的单调区间；

（2）（i）设是的导函数，证明：当时，在上恰有一个使得；

（ii）求实数的取值范围，使得对任意的，恒有成立。

注：为自然对数的底数。

Answer

（1）的减区间是；增区间是 

（2）在上恰有一个使得.

（ⅱ）。

【解析】

试题分析：（1）当时，   1分

当时，；当时，

所以函数的减区间是；增区间是      3分

（2）（ⅰ）   4分

当时，；当时，

因为，所以函数在上递减；在上递增    6分

又因为，

所以在上恰有一个使得.    8分

（ⅱ）若，可得在时，，从而在内单调递增，而，

，不符题意。       

由（ⅰ）知在递减，递增，

设在上最大值为则，

若对任意的，恒有成立，则，    11分

由得，，

又，。    13

考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性、最值，恒成立问题。