Question

（本小题满分15分）

已知函数

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若，试分别解答以下两小题.

（ⅰ）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围；

（ⅱ）若是两个不相等的正数，且，求证：．

Answer

（Ⅰ）当时，增区间是；当时，增区间是，递减区间是（Ⅱ）（ⅰ）（ⅱ）

设，则t>0，，,令，得，在（0，1）单调递减，在单调递增，.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）f(x)的定义域为，  ，………………1分

令，，

①当时，在恒成立，f(x)递增区间是；………3分

②当时，,又x>0, 递增区间是，递减区间是.         ………………………5分

（Ⅱ）（ⅰ）

设,

化简得：,  ………………7分

,

，在上恒成立，在上单调递减，

所以，,即的取值范围是 .………………9分

（ⅱ），在上单调递增,

,   ……11分

设，则t>0，，,

令，得，在（0，1）单调递减，在单调递增,………13分

，.        ………………………14分

考点：函数导数求单调区间求最值