Question

已知函数．

（Ⅰ）当时，求的单调区间；

（Ⅱ）设函数在点处的切线为，直线与轴相交于点.若点的纵坐标恒小于1，求实数的取值范围．

Answer

（Ⅰ）的单调递减区间为，单调递增区间为（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）当时，，，            1分

所以，当时，；当时，；              3分

所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．              4分

（Ⅱ）因为，

所以处切线的斜率，

所以切线的方程为，

令，得 .                                     5分

当时，要使得点的纵坐标恒小于1，

只需，即.                     6分

令，

则，                                                      7分

因为，所以，

①若即时，，

所以，当时，，即在上单调递增，

所以恒成立，所以满足题意.                            8分

②若即时，，

所以，当时，，即在上单调递减，

所以，所以不满足题意.                                9分

③若即时，.

则、、的关系如下表：

0

递减

极小值

递增

所以，所以不满足题意.                    11分

综合①②③，可得，当时，时，

此时点的纵坐标恒小于1.                                                  12分

考点：本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类与整合思想、数形结合思想、化归与转化思想．