Question

某同学用《几何画板》研究抛物线的性质：打开《几何画板》软件，绘制某抛物线，在抛物线上任意画一个点，度量点的坐标，如图．

（Ⅰ）拖动点，发现当时，，试求抛物线的方程；

（Ⅱ）设抛物线的顶点为，焦点为，构造直线交抛物线于不同两点、，构造直线、分别交准线于、两点，构造直线、．经观察得：沿着抛物线，无论怎样拖动点，恒有.请你证明这一结论．

（Ⅲ）为进一步研究该抛物线的性质，某同学进行了下面的尝试：在（Ⅱ）中，把“焦点”改变为其它“定点”，其余条件不变，发现“与不再平行”．是否可以适当更改（Ⅱ）中的其它条件，使得仍有“”成立？如果可以，请写出相应的正确命题；否则，说明理由．

Answer

（Ⅰ）

（Ⅱ）设出直线方程，点的坐标，联立方程组证明，所以

（Ⅲ）设抛物线的顶点为，定点，过点的直线与抛物线相交于、两点，直线、分别交直线于、两点，则

【解析】

试题分析：解法一：（Ⅰ）把，代入，得，          2分

所以，                                                                3分

因此，抛物线的方程．                                              4分

（Ⅱ）因为抛物线的焦点为，设，

依题意可设直线，

由得，则 ①                      6分

又因为，，所以，，

所以，，                         7分

又因为                                   8分

，  ②

把①代入②，得，                                   10分

即，

所以，

又因为、、、四点不共线，所以．                        11分

（Ⅲ）设抛物线的顶点为，定点，过点的直线与抛物线相交于、两点，直线、分别交直线于、两点，则 ．                                                             14分

解法二：（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）因为抛物线的焦点为，设，                5分

依题意,可设直线，

由得，

则

所以                                                         7分

又因为，，

所以，，                                            10分

所以，，  

又因为、、、四点不共线，所以.                          11分

（Ⅲ）同解法一.                                                            14分

解法三：（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）因为抛物线的焦点为，设，

依题意，设直线，

由得，则，                         6分

又因为，，所以，，

又因为，                9分

所以，所以平行于轴；

同理可证平行于轴；

又因为、、、四点不共线，所以.                         11分

（Ⅲ）同解法一.                                                           14分

考点：本小题主要考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系．