Question

（本小题满分12分）

已知点R（－3,0）,点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上 ,且满足，.

（Ⅰ）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C的方程；

（Ⅱ）设为轨迹C上两点，且，N(1,0)，求实数，使，且.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）。

【解析】

试题分析：(Ⅰ)设点M(x,y)，由得P(0，)，Q().

由得(3，)·(，)＝0,即

又点Q在x轴的正半轴上，故点M的轨迹C的方程是.……6分

（Ⅱ）解法一：由题意可知N为抛物线C:y2＝4x的焦点，且A、B为过焦点N的直线与抛物线C的两个交点。

当直线AB斜率不存在时，得A(1,2)，B(1,-2)，|AB|，不合题意；……7分

当直线AB斜率存在且不为0时，设，代入

得

则|AB|,解得          ………………10分

代入原方程得，由于，所以,

由，得 .             …………………12分

解法二：由题设条件得

由（6）、（7）解得或，又，故

考点：直线与抛物线的综合应用；向量在几何中的应用；轨迹方程的求法。