Question

(本题满分12分)

如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点。

（1）求证：CD⊥AE；

（2）求证：PD⊥面ABE。

Answer

（1）要证明线线垂直，则只要根据线面垂直的性质定理可以证明。

（2）对于线面垂直的证明，一般先证明线线垂直，然后结合线面垂直的判定定理得到，关键是证明AE⊥PD和BA⊥PD。

【解析】

试题分析：（I）证明：∵PA⊥底面ABCD

∴CD⊥PA

又CD⊥AC，PA∩AC=A，

故CD⊥面PAC 

AE面PAC，故CD⊥AE 

（II）证明：PA=AB=BC，∠ABC=60°，

故PA=ACE是PC的中点，故AE⊥PC

由（I）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，

故AE⊥PD

易知BA⊥PD，故PD⊥面ABE 

考点：线线垂直和线面垂直