Question

已知椭圆:的离心率为,过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点,为弦的中点,为坐标原点.

(1)求直线的斜率；

(2)求证:对于椭圆上的任意一点,都存在,使得成立.

Answer

(1)

(2) 显然与可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量,有且只有一对实数,使得等式成立.,那么设出点M的坐标，结合向量的坐标关系来证明。

【解析】

试题分析：解:(1)设椭圆的焦距为,因为,所以有,故有.

从而椭圆的方程可化为: 

①  知右焦点的坐标为(),据题意有所在的直线方程为:. ②由①,②有:.                                        

③设,弦的中点,由③及韦达定理有:

所以,即为所求.                       5分

(2)显然与可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量,有且只有一对实数,使得等式成立.设,由(1)中各点的坐标有:

,故.   7分

又因为点在椭圆上,所以有整理可得:

.       ④

由③有:.所以

   ⑤又点在椭圆上,故有 .      

⑥将⑤,⑥代入④可得:.                 11分

所以,对于椭圆上的每一个点,总存在一对实数,使等式成立,且.

所以存在,使得.也就是:对于椭圆上任意一点 ,总存在,使得等式成立.         13分

考点：椭圆的方程和性质，以及向量的加减法